у прямокутному трикутнику гострий кут дорівнює 60°, проекція катета, прилеглого до даного кута на гіпотенузу - 6см. Знайдіть гіпотенузу даного трикутника. (Малюнок трикутника)

Ответ:

Нехай прямокутний трикутник має гострий кут A, де A = 60°, та катет BC, прилеглий до цього кута, який проектується на гіпотенузу AB довжиною 6 см.

Застосуємо теорему Піфагора для знаходження гіпотенузи трикутника AB:

AB² = AC² + BC²

Оскільки трикутник ABC є прямокутним, то за теоремою Піфагора:

BC² + AC² = AB²

Також з умови задачі відомо, що AC = AB * cos A, де A = 60°. Отже:

AC = AB * cos 60° = AB * 1/2

Підставляємо вираз для AC у рівняння для гіпотенузи:

BC² + (AB/2)² = AB²

Розкриваємо дужки та складаємо подібні доданки:

BC² + AB²/4 = AB²

Переносимо BC² на один бік рівняння:

AB² - BC² = 4/4 * AB²

AB² - BC² = 3/4 * AB²

Ділимо обидва боки на 3 та множимо на 4:

4/3 * (AB² - BC²) = AB²

AB² = 4/3 * BC²

Знаходимо значення гіпотенузи:

AB = √(4/3 * BC²) = (2/√3) * BC

Підставляємо дані з умови задачі:

AB = (2/√3) * 6 см ≈ 6.93 см

Отже, гіпотенуза трикутника дорівнює близько 6.93 см.