3 точки до прямої проведено дві похилі, довжини яких відносяться, як 2:3, а сума довжин їх проекцій дорівнює 9 см. Знайдіть довжини цих похилих якщо відстань від точки до прямої дорівнює 4√2 см.​

Ответ:

Щоб знайти довжини двох похилих, проведених з точки до прямої, нам необхідно використати теорему Піфагора.

Нехай довжини двох похилих дорівнюють 2x та 3x см відповідно. Тоді їх проекції на пряму будуть мати довжини √(2x)² - (4√2)² = √(4x² - 32) см та √(3x)² - (4√2)² = √(9x² - 32) см відповідно.

Оскільки сума довжин цих проекцій дорівнює 9 см, то ми можемо записати рівняння: √(4x² - 32) + √(9x² - 32) = 9.

Це рівняння можна розв’язати шляхом підведення обох частин до квадрату двічі. Після першого підведення до квадрату ми отримаємо:

4x² - 32 + 2√((4x² - 32)(9x² - 32)) + 9x² - 32 = 81

Спростивши це рівняння, ми отримаємо:

2√((4x² - 32)(9x² - 32)) =81 - 13x² + 64

Підведенням до квадрату знову ми отримаємо:

(4x² - 32)(9x² - 32) = (81 - 13x² + 64)²

Розв’язавши це квадратне рівняння відносно x², ми отримаємо два корені: x² = -8 та x² = 16/3.

Оскільки x не може бути від’ємним числом, то ми відкидаємо перший корінь. Таким чином, x = √(16/3).

Отже, довжини двох похилих дорівнюють 2x = 2√(16/3) см та 3x = 3√(16/3) см відповідно.