Доказать что векторы компланарны

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством смешанного произведения векторов: [a,b,c] = a*(b x c) где [a,b,c] - смешанное произведение векторов a, b и c, a*(b x c) - скалярное произведение вектора a и векторного произведения векторов b и c. Если векторы a, b и c компланарны, то они лежат в одной плоскости. Значит, смешанное произведение равно нулю: [a,b,c] = 0 Тогда имеем: a*(b x c) = 0 Раскроем скалярное произведение: a*(b x c) = a*b*c*cos(alpha) Аналогично для других углов: a*(b x c) = b*c*a*cos(beta) = c*a*b*cos(omega) Сложим все три равенства и получим: a*b*c*(cos(alpha) + cos(beta) + cos(omega)) = 0 Так как a, b и c не равны нулю, то получаем: cos(alpha) + cos(beta) + cos(omega) = 0 Возводя это равенство в квадрат и преобразуя выражение, получаем: cos^2(alpha) + cos^2(beta) + cos^2(omega) = 1 + 2*cos(alpha)*cos(beta)*cos(omega) Таким образом, если векторы a, b и c компланарны, то выполняется данное равенство. Обратно, если выполняется данное равенство, то: cos^2(alpha) + cos^2(beta) + cos^2(omega) - 2*cos(alpha)*cos(beta)*cos(omega) = 1 (cos(alpha) - cos(beta)*cos(omega))^2 + sin^2(beta)*sin^2(omega) = 1 Значит, cos(alpha) = cos(beta)*cos(omega), sin(beta)*sin(omega) = 0. Это возможно только если углы alpha, beta и omega равны между собой или сумма двух из них равна 180 градусов. В первом случае векторы лежат в одной плоскости, во втором - они компланарны. Таким образом, доказано, что векторы a, b и c компланарны тогда и только тогда, когда cos^2 alpha + cos^2 beta + cos^2 omega = 1 + 2cos alpha * cos beta * cos omega.