через кінець радіуса кулі проведено переріз площина якого утворює з цим радуісом кут В. Знайдіть площину цього перерізу, якщо об'єм кулі дорівнює V

Ответ:

За формулою об'єму кулі маємо:

V = (4/3)πr^3

Розглянемо правильний переріз кулі, який буде колом з радіусом rsin(В/2), де r - радіус кулі. Площа цього кола:

Sкола = π(rsin(В/2))^2 = (π/4)r^2*sin^2(В/2)

Тоді площа перерізу кулі площина якого утворює з радіусом кут В дорівнює площі сегмента, обмеженого цим перерізом та діаметром, що проходить через цю точку перетину. Площа такого сегмента може бути знайдена за формулою:

Sсегмента = (π/6)h(3r-h), де h - висота сегмента

Висота сегмента може бути знайдена за формулою:

h = r - r*cos(В/2)

Тоді площа перерізу кулі дорівнює:

Sперерізу = Sсегмента = (π/6)(r - rcos(В/2))(3r - (r - rcos(В/2))) = (π/6)r^2(3cos^2(В/2) - 2cos(В/2) + 1)

Отже, площа перерізу кулі буде дорівнювати (π/6)r^2(3cos^2(В/2) - 2cos(В/2) + 1), де r^3 = (3V/4π) і В - заданий кут перерізу.

Объяснение: