Геометрия срочно в 8клссе

Пусть треугольник ABC имеет сторону AB длиной 8, а медианы, проведенные к сторонам BC и AC, имеют длины m_b = √46 и m_a = √79, соответственно. Обозначим точку пересечения медиан через O. Так как медиана, проведенная к стороне BC, делит ее пополам, то мы можем записать: BC = 2m_b Аналогично, медиана, проведенная к стороне AC, делит ее пополам, и мы можем записать: AC = 2m_a Заметим также, что точка O является центром тяжести треугольника ABC, поэтому третья медиана, проведенная к стороне AB, также проходит через O. Это означает, что треугольник AOB является прямоугольным, причем медиана, проведенная к гипотенузе AB, равна половине стороны AC: AO = BO = AC/2 = m_a/2 Используя теорему Пифагора для треугольника AOB, мы можем записать: AB² = AO² + BO² 8² = (m_a/2)² + (m_b)² 64 = m_a²/4 + 46m_a² = 4(64-46) = 72 m_a = √72 = 6√2 Теперь мы можем найти длину третьей стороны треугольника, используя теорему косинусов: AB² = BC² + AC² - 2BC·AC·cos(A) 8² = (2m_b)² + (2m_a)² - 2(2m_b)(2m_a)cos(A) 64 = 4m_b² + 4m_a² - 8m_bm_acos(A) Подставляем значения: 64 = 4(46) + 4(79) - 8(√46)(6√2)cos(A)Для решения задачи воспользуемся теоремой медиан: Медиана, проведенная к стороне треугольника, делит эту сторону пополам и равна корню из произведения половин диагоналей трапеции, образованной этой стороной и соответствующей медианой. Пусть медианы треугольника со стороной 8 равным корень 46 и корень 79, соответственно, обозначим их через m1 и m2 соответственно. Тогда, применяя формулу для длины медианы, получим: m1 = sqrt((2a^2 + 2b^2 - c^2)/4), где a,b,c - стороны треугольника Так как m1 равно корню из 46, то: sqrt((2a^2 + 2b^2 - c^2)/4) = sqrt(46) 2a^2 + 2b^2 - c^2 = 4 * 46 2a^2 + 2b^2 - c^2 = 184 Аналогично, для m2: sqrt((2a^2 + 2c^2 - b^2)/4) = sqrt(79) 2a^2 + 2c^2 - b^2 = 4 * 79 2a^2 + 2c^2 - b^2 = 316 Мы получили два уравнения, которые можно решить относительно a, b и c. Например, выразим b^2 из первого уравнения и подставим во второе: 2a^2 + 2c^2 - (2a^2 + 2b^2 - 184) = 316 2c^2 - 2b^2 + 184 = 316 2c^2 - 2b^2 = 132 c^2 - b^2 = 66 Аналогично, можно выразить a^2 через b^2 и c^2: 2b^2 + 2c^2 - (2a^2 + 2b^2 - 184) = 184 2c^2 - 2a^2 = 0 c^2 = a^2 Таким образом, получаем: b^2 = (c^2 - 66)/2 a^2 = c^2 c^2 + (c^2 - 66)/2 = 32 После преобразований, находим, что: c^2 = 24 a^2 = 24 b^2 = 9 Таким образом, стороны треугольника равны 2sqrt(6), 2sqrt(6) и 3, а его периметр равен 2sqrt(6) + 3sqrt(2).