Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, тупой угол которого равен 120°. Боковая грань пирамиды, содержащая основание этого треугольника, перпендикулярна к плоскости основания, а две другие – наклонены к ней под углом 60°. Высота пирамиды равна см. Найдите объем пирамиды.

Ответ:

Пусть сторона равнобедренного треугольника, являющегося основанием пирамиды, равна $a$. Тогда высота этого треугольника равна $h_0 = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, боковой гранью, содержащей основание, и половиной основания. Этот треугольник также является равнобедренным, поскольку угол между боковой гранью и половиной основания равен 60°.

Пусть высота пирамиды равна $h$. Тогда по теореме Пифагора для этого треугольника получаем:

(a2)2+h02=h2(2a​)2+h02​=h2

a24+a212=h24a2​+12a2​=h2

h=a23h=23

​a​

Таким образом, высота пирамиды равна высоте основания, и пирамида является правильной.

Объем правильной пирамиды можно вычислить по формуле:

V=13SоснhV=31​Sосн​h

где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Площадь основания равнобедренного треугольника можно найти по формуле для площади равнобедренного треугольника с углом 120°:

Sосн=a234Sосн​=4a23

​​

Таким образом, объем пирамиды равен:

V=13⋅a234⋅a23=a324V=31​⋅4a23

​​⋅23

​a​=24a3​

Подставляя $a=2h_0\sqrt{3}$, получаем:

V=(2h03)324=8h033=2a327V=24(2h0​3

​)3​=38h03​​=272a3​

Ответ: $V = \frac{2a^3}{27}$.