в правильной треугольной пирамиде длина бокового ребра равна √3. При какой величине угла, образованного этим ребром с основанием пирамиды, объем пирамиды будет наибольшим?

Ответ:

Обозначим сторону основания пирамиды через а, высоту пирамиды через h, угол между боковым ребром и основанием через α.

Так как пирамида правильная, то ее основание является правильным треугольником. Пусть сторона этого треугольника равна а, тогда его высота равна h = а√3/2.

Объем пирамиды можно найти по формуле:

V = (1/3) * S * h,

где S - площадь основания пирамиды. Для правильной пирамиды с правильным треугольным основанием ее площадь можно выразить через длину стороны a:

S = (a^2 * √3)/4.

Таким образом, объем пирамиды можно записать как:

V = (1/3) * (a^2 * √3)/4 * (a√3/2) = (a^3 * √3)/12.

Выражение для объема можно упростить, заменив a на боковое ребро пирамиды:

V = (√3/12) * (боковое ребро)^3.

Теперь нужно найти угол α, при котором это выражение будет максимальным. Для этого найдем производную объема по α:

dV/dα = (3√3/4) * (боковое ребро)^3 * sin(α).

Производная равна нулю при sin(α) = 0, то есть при α = 0° или α = 180°. Однако, при α = 180° пирамида вырождается в плоскость, поэтому максимум объема достигается при α = 0°.

Ответ: при угле α, равном 0°, объем правильной треугольной пирамиды будет наибольшим.

Ответ:

При расчете объема правильной треугольной пирамиды можно использовать формулу:

V = (1/3) * S_base * h

где S_base - площадь основания, h - высота пирамиды.

В данном случае основание пирамиды - равносторонний треугольник, поэтому его площадь можно вычислить по формуле:

S_base = (a^2 * √3) / 4

где a - длина стороны основания (бокового ребра пирамиды).

Таким образом, объем пирамиды можно выразить как:

V = (1/3) * (a^2 * √3) / 4 * h = (a^2 * √3 * h) / 12

Для максимизации объема пирамиды необходимо максимизировать значение a^2 * h. Обозначим угол между боковым ребром и основанием пирамиды как α. Тогда высота пирамиды будет равна:

h = a * cos(α)

Значение a уже задано (a = √3), поэтому максимизация a^2 * h равносильна максимизации выражения:

f(α) = √3 * cos(α) * (√3)^2

f(α) = 3 * cos(α)

Таким образом, чтобы максимизировать объем пирамиды, необходимо максимизировать косинус угла α. Косинус достигает максимального значения 1 при угле α = 0°. Следовательно, при угле α = 0° объем пирамиды будет наибольшим