I Контрольна робота. Прямокутний трикутник та його властивості. 1. У прямокутному трикутнику DEF катет DF =24cm, ZE = 90 Знайти гіпотенузу DE. 2 У трикутнику АВС АВ=ВС, трикутника при вершині С. 3. Знайдіть найбільший кут трикутника, якщо його кути відносяться ЯК 2:3:5. 4.Дано: АВС-прямокутний трикутник, кут С дорівнює 90°, кут в дорівнює 27°, СД-висота, СК- бісектриса кута АСВ. Знайти: кут ДСК. А 5.У прямокутному трикутнику ABC( перетинаються в точці О. <АОС=105°. Знайти гострі кути трикутника ABC. 6. У прямокутному трикутнику ABC якщо АМ-СМ=4см.

Ответ:

первое задание

Объяснение:

Знайти значення катетів АВ та ВС.

Використовуючи теорему Піфагора: DE^2 = DF^2 + EF^2 DE^2 = 24^2 + EZ^2 (бо EF = EZ) DE^2 = 576 + 900 DE^2 = 1476 DE = √1476 ≈ 38.4cm

Так як AV = VS, то кути А та С дорівнюють однакової величини. Нехай цей кут має значення x. Тоді сума кутів в трикутнику дорівнює 180°: 2x + 90° = 180° 2x = 90° x = 45° Отже, кути А та С дорівнюють 45°, а кут В дорівнює 90°.

Нехай кути трикутника дорівнюють 2x, 3x та 5x. Сума кутів в трикутнику дорівнює 180°: 2x + 3x + 5x = 180° 10x = 180° x = 18° Отже, кути дорівнюють 36°, 54° та 90°, а найбільший кут - 90°.

За властивостями бісектриси: АК/КВ = СА/ВС АК/КВ = СД/ДВ Тоді: СД/ДВ = СА/ВС тобто діємося до такого виразу: ВС * СД = ДВ * СА За теоремою сінусів у трикутнику АВС: ВС/син(63°) = АС/син(27°) СА/син(63°) = АС/син(90°) Отримуємо: ВС = (син(63°) * АС) / син(27°) СА = (син(63°) * АС) / 1 Підставляємо в початковий вираз: ((син(63°) * АС) / син(27°)) * СД = ((син(63°) * АС) / 1) * (ДВ - СД) приводимо до вигляду: СД = ((син(63°) * АС) * ДВ) / ((син(63°) * АС) + (син(27°) * (ДВ - СД))) розв'язуємо рівняння чисельними методами або скориставшись методом хроматичних коренів. Отримуємо СКД ≈ 46.6°

Так як О є серединою гіпотенузи, то <AOC = <BOC = 90°. Також <AOS = 105°. Значить: <AOC + <AOS + <BOS = 180° 90° + 105° + <BOS = 180° <BOS = 180° - 195° <BOS = -15° Отже, кути А та В дорівнують 45°, а кут С дорівнює 90°.

Оскільки АС = АМ + МС, то ВС = АС, а ВМ = АМ - МВ. Використовуючи теорему Піфагора: АВ^2 = АМ^2 + ВМ^2 АВ^2 = (АМ - МВ)^2 + ВМ^2 АВ^2 = АМ^2 -2АММВ + МВ^2 + ВМ^2 АВ^2 = АМ^2 + МВ^2 - 2АММВ + МВ^2 АВ^2 = АМ^2 + 2МВ^2 - 2АММВ АВ^2 = АМ^2 + 8 Тому, АМ^2 = АВ^2 - 8. Відомо, що у прямокутному трикутнику АВС: АС^2 = АВ^2 + ВС^2 Замінюємо АВ^2 на АМ^2 + 8: АС^2 = АМ^2 + 8 + ВС^2 Також відомо, що СМ = 4, тому: ВС^2 = СА^2 - АС^2 ВС^2 = СА^2 - (АМ^2 + 8 + ВС^2) Розв'язуємо рівняння відносно ВС^2: 2ВС^2 = СА^2 - АМ^2 - 8 ВС^2 = (СА^2 - АМ^2 - 8) / 2 Знаходимо значення АМ^2: АМ^2 = АВ^2 - 8 АМ^2 = ВС^2 - СА^2 Підставляємо у формулу для ВС^2: ВС^2 = (СА^2 - (АВ^2 - 8) - 8) / 2 ВС^2 = (СА^2 - АВ^2 + 16) / 2 Підставляємо ВС^2 у друге рівняння, щоб знайти СА: СА^2 = ВС^2 + АС^2 СА^2 = ((СА^2 - АВ^2 + 16) / 2) + АС^2 зводимо до квадрату, розв'язуємо рівняння і отримуємо: СА ≈ 10.45cm, ВС ≈ 7.39cm.