1. Скільки трикутників може бути утворено всередині деякої фігури, якщо сума її кутів -- 360 градусів? Як їх отримати? 2. Чи існує трикутник зі сторонами 1, 1 і 1? 3. Чи існує трикутник зі сторонами 1, 1 і 2? 4. Чи існує трикутник зі сторонами 1, 2 і 2? 5. Чи правильно задано умови задачі: у трикутнику ABC AB = BC = 10, AC = 5, кут A = 45 градусів, кут B = 90 градусів, кут C = 35 градусів. Знайдіть його площу? 6. Знайдіть усі зовнішні кути трикутника, у якого кут 1 = 50 градусів, кут 2 = 30 градусів, кут 3 = 100 градусів. 7. Медіана трикутника дорівнює половині сторони, до якої вона проведена. Доведіть, що даний трикутник -- прямокутний

Ответ:

1. Кількість трикутників, які можуть бути утворені всередині фігури залежить від кількості її вершин. Якщо у фігурі n вершин, то кількість трикутників можна обчислити за формулою:

\frac{(n - 2)(n - 3)}{2}

У даному випадку, якщо сума кутів дорівнює 360 градусів, то можна припустити, що це фігура з n вершинами, де кожен кут дорівнює 180 - 360/n градусів. Тоді, за формулою, кількість трикутників буде (n-2) * (n-3) / 2. Наприклад, для чотирикутника кількість трикутників буде (4-2) * (4-3) / 2 = 1, для п'ятикутника -- (5-2) * (5-3) / 2 = 5 і т.д.

2. Так, існує. Трикутник зі сторонами 1, 1 і 1 називається рівностороннім.

3. Ні, не існує. Згідно нерівності трикутника, сума будь-яких двох сторін завжди більша за третю сторону. У даному випадку, 1 + 1 = 2, що менше за третю сторону, яка дорівнює 2.

4. Так, існує. Сума будь-яких двох сторін завжди більша за третю сторону, тому трикутник зі сторонами 1, 2 і 2 може існувати.

5. Ні, не правильно задано умови задачі. Кут B не може бути прямим, оскільки в цьому випадку кути A і C дорівнювали б 45 градусів, що робить їх рівними, а отже, сторони AB і BC також були б рівними. Але за умовою задачі вони дорівнюють 10, тому цей трикутник не може існувати.

6. Сума всіх зовнішніх кутів трикутника дорівнює 360 градусів. Тому, якщо кути вже задані, можна знайти значення третього кута і обчислити зовнішні кути. У даному випадку, кут 3 дорівнює 180 - (50 + 30) = 100 градусів. Зовнішній кут до кута 1 дорівнює сумі двох інших кутів, тобто 80 градусів. Аналогічно, зовнішній кут до кута 2 дорівнює 110 градусам, а до кута 3 -- 180 градусів.

7. Нехай медіана проведена до сторони AB і ділить її на дві рівні частини. Тоді, за теоремою Піфагора, сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, тобто (AB/2)^2 + BC^2 = AC^2. Але якщо медіана дорівнює половині сторони AB, то (AB/2)^2 = (BC/2)^2 + h^2, де h -- висота трикутника, проведена до сторони AB. Підставляючи це в попереднє рівняння, отримуємо (BC/2)^2 + h^2 + BC^2 = AC^2. Але це означає, що трикутник ABC задовольняє теорему Піфагора, тобто він є прямокутним.