Геометрия. Окружность вписанная в равнобедренный треугольник

Пусть ABC - равнобедренный треугольник, в который вписана окружность с центром в точке O. Пусть точки M и N - точки касания окружности с сторонами AB и AC соответственно.Так как треугольник ABC равнобедренный, то AM = AN = BM = CN = x (половина стороны треугольника).Также, так как окружность вписана в треугольник, то точка O - точка пересечения биссектрис углов треугольника, а значит, AO, BO и CO являются биссектрисами углов треугольника. Таким образом, AO, BO и CO делят стороны треугольника на отрезки пропорционально смежным сторонам. Поэтому:AM / BM = AO / BOAN / CN = AO / COТак как AM = AN = x, BM = CN = AB / 2 = x√2, то:x / (x√2) = AO / BOx / (x√2) = AO / (AB - AO)x / (x√2) = AO / (2x - AO)Отсюда получаем:AO^2 = x^2 * 2AO = x√2Аналогично, получаем:CO = x√2BO = AB - AO - CO = 2x - x√2Теперь рассмотрим треугольник KEO. По условию, Ko : Oe = 12 : 5. Поэтому, если мы обозначим KO через x, то OE будет равно 5x / 12.Так как точка O является центром вписанной окружности, то OE является радиусом окружности. Поэтому, если мы обозначим радиус окружности через r, то:r = 5x / 12Так как точки M и N являются точками касания окружности с треугольником, то OM = ON = r.Таким образом, MN = OM + ON = 2r = 5x / 6.Так как MK = 30, то AM = MK / 2 = 15.Также, так как AM = x, то x = 15.Итак, мы нашли все необходимые значения:AO = x√2 = 15√2MN = 5x / 6 = 25 / 2Ответ: MN = 25 / 2.