Найти радиус вписанной окружности треугольника

Пусть радиус вписанной окружности треугольника ABC равен r. Тогда известно, что точка, где вписанная окружность касается стороны BC, находится на расстоянии r от середины стороны BC. Аналогично, точки, где вписанная окружность касается сторон AB и AC, находятся на расстоянии r от середин соответствующих сторон.Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в точке C. Тогда тангенс угла BAC равен отношению катета AC к катету AB. Мы знаем, что тангенс этого угла равен 4/3, значит, AC = 4x, AB = 3x, где x - какое-то число.Так как точки касания вписанной окружности с сторонами треугольника находятся на расстоянии r от середин сторон, можно рассмотреть треугольник, образованный точками касания, и применить теорему Пифагора.Обозначим половину длины стороны BC через p, половину длины стороны AC через q, а половину длины стороны AB через s. Тогда имеем:p^2 + q^2 = (2r)^2q^2 + s^2 = (2r)^2s^2 + p^2 = (2r)^2Сложим все три уравнения и подставим известное значение для r (r = 8):4p^2 + 4q^2 + 4s^2 = 256Заметим, что 4p^2 + 4q^2 = (2p)^2 + (2q)^2 = AC^2 = 16x^2, а 4s^2 = (2s)^2 = AB^2 = 9x^2. Подставим это в уравнение и получим:16x^2 + 9x^2 = 25x^2 = 256Откуда x^2 = 256/25, а значит, x = 16/5.Теперь можем найти длины сторон треугольника ABC:AC = 4x = 64/5AB = 3x = 48/5BC = AC / tan BAC = (4x) / (4/3) = 3x = 48/5С помощью формулы Герона найдем площадь треугольника:p = (AC + AB + BC) / 2 = (64/5 + 48/5 + 48/5) / 2 = 80/5S = sqrt(p(p-AC)(p-AB)(p-BC)) = sqrt((80/5) * (16/5) * (32/5) * (32/5)) = 256/5Наконец, радиус вписанной окружности находим по формуле:S = (a+b+c)r/2, где a, b, c - стороны треугольникаr = 2S / (a+b+c) = (512/5) / (64/5 + 48/5 + 48/5) = 16/3Итак, радиус вписанной окружности треугольника ABC равен 16/3.