У прямокутний трикутник вписано коло. Гіпотенуза ділиться точкою дотику у відношенні 2 : 3. Знайдіть площу (у см²) трикутника, якщо його периметр дорівнюе 36 см.​

Ответ:Позначимо катети прямокутного трикутника як a та b, а гіпотенузу як c. Також позначимо радіус вписаного кола як r.

За властивостями вписаного кола, точки дотику лежать на відрізку гіпотенузи, який ділиться на відрізки довжини 2r та 3r.

Таким чином, маємо систему рівнянь:

a + b + c = 36 (периметр трикутника)

a^2 + b^2 = c^2 (теорема Піфагора)

c/5 = r (властивість вписаного кола)

З першого рівняння виразимо c:

c = 36 - a - b

Підставимо це у друге рівняння:

a^2 + b^2 = (36 - a - b)^2

a^2 + b^2 = 1296 - 72a - 72b + 2ab + a^2 + b^2

72a + 72b - 2ab = 1296

2a(36 - b) = 72(36 - b)

a = 36/3 = 12

b = 36/4 = 9

Тепер можемо знайти c та r:

c = sqrt(a^2 + b^2) = 15

r = c/5 = 3

Площа трикутника дорівнює половині добутку його катетів:

S = (1/2)ab = (1/2)(12)(9) = 54 см².

Объяснение: