Побудувати довільний трикутник і трикутник, симетричний даному відносно точки, якщо вона: 1) розміщена поза трикутником; 2) розміщена у вершині трикутника; 3) лежить на стороні трикутника; 4) розміщена всередині трикутника. Записати відповідні рівності.

Відповідь:

Для побудови трикутника і його симетричного можна скористатись геометричним компасом та лінійкою.

Для побудови симетричного трикутника відносно точки поза трикутником, спочатку побудуємо довільний трикутник і знайдемо середину однієї з його сторін. Далі з центром у даній точці побудуємо коло, яке проходить через середину цієї сторони. Інтерсекцією цього кола зі сторонами трикутника будуть точки, через які можна провести симетричні сторони.

Якщо точка симетрії знаходиться в вершині трикутника, то симетричний трикутник можна побудувати, проведуючи симетричні лінії від вершини трикутника до середин протилежних сторін.

Якщо точка симетрії знаходиться на стороні трикутника, то можна провести симетричну сторону, проведуючи серединну перпендикуляр до цієї сторони.

Якщо точка симетрії знаходиться всередині трикутника, то можна провести симетричний трикутник, проведуючи серединні перпендикуляри до сторін трикутника, які пройдуть через дану точку.

Рівності для симетрії трикутника відносно точки відповідають властивостям симетрії:

Відстань від точки до даних точок трикутника буде рівна відстані від симетричних точок до точки симетрії.

Кут між променями, що йдуть від вершини трикутника до симетричних точок, буде рівний куту між променями, що йдуть від вершини трикутника до симетричних точок.

Відстань від сторін трикутника до точки симетрії буде рівна відстані від симетричних сторін доточки симетрії.

Відстань від даної точки до середин сторін трикутника буде рівна відстані від симетричних середин до точки симетрії.

За допомогою цих властивостей можна знайти координати симетричних точок і побудувати симетричний трикутник.

Наприклад, якщо дано трикутник ABC з координатами вершин (0,0), (4,0), (2,3) і точку симетрії D з координатами (2,1), то можна знайти координати симетричних точок і побудувати симетричний трикутник за наступними кроками:

Знайдемо середину сторони AB:

AB = sqrt((4-0)^2 + (0-0)^2) = 4

M_AB = ((0+4)/2, (0+0)/2) = (2,0)

Побудуємо коло з центром у точці D і радіусом DM_AB:

DM_AB = sqrt((2-2)^2 + (1-0)^2) = 1

Коло з центром у точці D і радіусом 1 проходить через точки (1,1) і (3,1).

Знайдемо точки перетину кола зі сторонами трикутника:

Коло перетинає сторону AB в точках (1,1) і (3,1), сторону BC в точках (3,1) і (2,2), і сторону AC в точках (1,1) і (2,2).

Побудуємо симетричний трикутник, проведуючи симетричні сторони із точок перетину:

Симетричний трикутник A'B'C' має координати вершин (1,1), (3,1) і (2,2).

За допомогою аналогічних методів можна побудувати симетричний трикутник відносно точки, що знаходиться в вершині, на стороні або всередині трикутника.

Пояснення: