СРОЧНО! ДАЮ 50 БАЛІВНа сторонах АВ і BC трикутника ABC позначено точки Di F відповідно. З цих точок до прямої АС проведено перпендикуляри DK і FP, причому АК = PC,DK = FP. Доведіть, що АВ = BC.​

Відповідь:

За умовою, АК = PC та DK = FP. Розглянемо прямокутні трикутники АDK та CFP.

За теоремою Піфагора для трикутника АDK:

AD² + DK² = AK²

За теоремою Піфагора для трикутника CFP:

CP² + FP² = CF²

Оскільки DK = FP та АК = PC, то маємо:

AD² + DK² = AK² = PC² = CP² + FP²

Звідси випливає, що:

AD² + DK² = CP² + FP²

Розглянемо тепер трикутник ABC. За теоремою Піфагора для цього трикутника:

AB² + BC² = AC²

Застосуємо теорему косинусів до кута BAC:

cos(BAC) = (AB² + AC² - BC²) / (2AB * AC)

Аналогічно, застосуємо теорему косинусів до кута ACB:

cos(ACB) = (BC² + AC² - AB²) / (2BC * AC)

Оскільки DK і FP - це перпендикуляри до сторін трикутника ABC, то маємо:

AD² + DK² = AB²

CP² + FP² = BC²

Підставимо ці рівності в формулу для косинуса кута BAC:

cos(BAC) = ((AD² + DK²) + AC² - (CP² + FP²)) / (2AD * AC)

cos(BAC) = (AB² + AC² - BC²) / (2AB * AC)

Отримали однакові вирази для косинуса кута BAC. Це означає, що кут BAC дорівнює куту ACB, тобто трикутник ABC є рівнобедреним, або ж АВ = BC.

Пояснення: