1. Накресліть прямокутний трикутник АВС (< С = 90º). Позначте точку О – центр описаного кола навколо цього трикутника. Якщо R = 7 см, то якою буде довжина гіпотенузи?

Ответ:

Нам потрібно визначити довжину гіпотенузи трикутника АВС за радіусом описаного кола.

Перш за все, ми можемо визначити довжину сторони СВ за діагоналлю прямокутника АВС та знаючи, що сторони АВ та ВС - прямі кути.

Для цього застосуємо теорему Піфагора:

СВ² = АС² + АВ²

СВ² = R² + R² = 2R²

СВ = √(2R²) = R√2 = 7√2 (оскільки R = 7 см)

Також, ми можемо використовувати теорему синусів для визначення довжини гіпотенузи:

sin(С) = СВ / гіпотенуза

гіпотенуза = СВ / sin(С)

Ми вже визначили довжину СВ (7√2), тому залишається знайти значення синуса кута С:

sin(С) = AC / гіпотенуза

sin(С) = AC / (2R)

sin(С) = (AC / 2R)

Оскільки трикутник прямокутний і ми знаємо один з його гострих кутів, ми можемо визначити значення sin(С) за формулою:

sin(С) = sin(90 - А)

де А - кут при вершині А.

sin(С) = sin(90 - А) = cos(А)

Оскільки трикутник прямокутний, cos(А) = АВ / гіпотенуза.

Тому гіпотенуза = АВ / cos(А)

АВ = АС = R, тому:

гіпотенуза = R / cos(А)

Також, ми можемо використовувати теорему Піфагора для визначення гіпотенузи:

гіпотенуза² = АВ² + СВ²

гіпотенуза² = R² + (7√2)²

гіпотенуза = √(R² + 98)

гіпотенуза = √(49 + 98)

гіпотенуза = √147

гіпотенуза = 7√3

Отже, довжина гіпотенузи трикутника АВС дорівнює 7√3 см.