Через вершины A и D параллелограмма ABCD проведены две параллельные прямые. Первая прямая пересекает ВС в точке Е. Из точек А и Е проведены перпендикуляры АТ и ЕР ко второй из параллельных прямых. Докажите, что площади четырехугольников AEPT и ABCD равны.

Ответ:

Доказательство:

Так как CD || PT и AB || ER, а AD — общая сторона, то углы EAD и TCD — соответственные углы, следовательно, они равны.

Аналогично можно доказать, что углы ABE и CTP равны.

Так как AD || PT, то ADPT — параллелограмм. Тогда его диагонали делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма ADPT через F.

Так как AE || BC и сторона ET параллельна стороне AB, то четырехугольник AETE — параллелограмм. Тогда его диагонали делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма AETE через R.

Из того, что AF = FD и ER = RF, следует, что AF + ER = FD + RF. Но AF + ER = AE и FD + RF = BC. То есть, AE = BC.

Так как AD = PB, а EF является общей стороной двух параллелограммов ADPT и BCER, то по формуле площади параллелограмма площадь четырехугольника AEPT равна площади четырехугольника ABCD.

Объяснение: