прошу допоможіть будь ласка срочно. Трикутник АВС -рівнобедрений прямокутний із прямим кутом С і гіпотенузою 12 см. Відрізок СК перпендикулярний до площини трикутника. Відстань від точки К до прямої АВ дорівнює 10см. Знайти довжину відрізка СК.​

Ответ:

Застосуємо теорему Піфагора для знайдення довжини одного з катетів трикутника АВС:

AB² = AC² - BC²

AB² = 12² - (1/2 * 12)²

AB² = 144 - 36

AB = √108

AB = 6√3 см

Позначимо довжину відрізка СК як х. Тоді за теоремою Піфагора для трикутника СКВ маємо:

VK² = BV² - BK²

VK² = AB² - BK²

VK² = (6√3)² - (6 - х)²

VK² = 108 - (36 - 12х + х²)

VK² = 72 + 12х - х²

З іншого боку, за властивостями прямокутних трикутників АКС і ВКС, виконуються рівності:

AK = CK - x

BV = CV - x

Оскільки АК = BV, то маємо:

CK - x = 6√3 - x

CK = 6√3

Застосуємо теорему Піфагора для трикутника СКВ ще раз, використовуючи вже знайдені значення:

VK² = BV² - BK²

VK² = (CV - x)² - (CK - x)²

VK² = (12 - x)² - (6√3 - x)²

VK² = 144 - 24x + x² - (108 - 12√3x + x²)

VK² = 36 + 12√3x

Отже, маємо рівняння:

36 + 12√3x = 72 + 12х - х²

х² - 12х + 36 + 12√3x - 72 = 0

х² - 12х + 12√3x - 36 = 0

Розв'язуючи це квадратне рівняння, отримаємо:

х = 6 + 2√3

Отже, довжина відрізка СК дорівнює 6 + 2√3 см.