Срочно помогите решыть дам 40 баллов . З малюнком Через точку D проведено пряму DA, перпендикулярну до площини прямокутного трикутника ABC (∠C = 90°). Довести, що (DAC) ⊥ (DBC) .

Відповідь:

Пояснення:

Спочатку зазначимо, що у нас є дві площини - площина DAC і площина DBC, які перетинаються у прямій AD.

За визначенням, вектори нормальних до цих площин лежать в площинах і є перпендикулярними до відрізка AD. Таким чином, ми повинні довести, що вектор нормалі до площини DAC перпендикулярний до вектора нормалі до площини DBC.

Звернемося до векторного добутку двох векторів, наприклад, векторів AB і AC, які лежать в площині ABC. Векторний добуток визначається як:

AB x AC = |AB| |AC| sin(∠BAC) n,

де |AB| і |AC| - довжини векторів AB і AC, ∠BAC - кут між векторами AB і AC, n - одиницевий вектор, перпендикулярний до площини ABC.

Оскільки ABC - прямокутний трикутник, то ∠BAC = 90°, тому sin(∠BAC) = 1.

Отже, AB x AC = |AB| |AC| n.

Враховуючи, що вектори AB і AC є напрямними векторами в площині ABC, а значить, є паралельними до площини DAC, то їх векторний добуток AB x AC буде перпендикулярним до площини DAC.

Аналогічно, векторний добуток векторів CB і CA буде перпендикулярним до площини DBC.

Отже, якщо ми покажемо, що вектори AB x AC і CB x CA є паралельними до прямої AD, то ми можемо стверджувати, що вони перпендикулярні один до одного, а отже, (DAC) ⊥ (DBC).

Покажемо це. За визначенням, вектор нормалі до площини DAC перпендикулярний до відрізка AD. Аналогічно, вектор нормалі до площини DBC також перпендикулярний до відрізка AD. Оскільки вектори AB і CB лежать в площинах ABC і BDC відповідно, а значить, обидва