В прямоугольном треугольнике ABC высота CH, проведенная из вершины прямого угла, в четыре раза меньше гипотенузы. Найдите острые углы треугольника ABC.

Ответ:

Пусть гипотенуза треугольника ABC равна c, а катеты равны a и b (так, что a < b).

Так как высота CH проведена из вершины прямого угла, то она является одновременно и медианой и высотой треугольника ABC. Значит, CH = (1/2) * c.

Также известно, что CH = b * sin(A), где A - острый угол при вершине C.

Следовательно, b * sin(A) = (1/2) * c.

Так как sin(A) ≤ 1, то b ≤ (1/2) * c. Но по условию задачи CH = (1/2) * c, значит, b = CH.

Тогда a = √(c^2 - b^2) = √(c^2 - (1/4)*c^2) = √(3/4)*c = (1/2)√3c.

Таким образом, соотношение катетов в треугольнике ABC равно a:b:c = √3 : 1 : 2.

Значит, углы треугольника ABC равны 30°, 60° и 90°.