100 балів! Будь ласка, розгорнуте рішення!Знайдіть кут А трикутника АВС ,якщо А(2;1;3),В(7;4;5),С(4;2;1)​

Ответ:

Для знаходження кута А трикутника АВС потрібно використовувати векторний аналіз.

Спочатку знайдемо вектори АВ і АС, використовуючи координати точок А, В і С:

Вектор АВ = В - А = (7;4;5) - (2;1;3) = (5;3;2)

Вектор АС = С - А = (4;2;1) - (2;1;3) = (2;1;-2)

Далі, знайдемо скалярний добуток цих векторів:

АВ * АС = (5;3;2) * (2;1;-2) = 52 + 31 + 2*(-2) = 10 + 3 - 4 = 9

Також, знайдемо довжини векторів АВ і АС:

|АВ| = √(5^2 + 3^2 + 2^2) = √(25 + 9 + 4) = √38

|АС| = √(2^2 + 1^2 + (-2)^2) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3

Нарешті, використовуючи формулу для скалярного добутку векторів і довжин векторів, можна знайти косинус кута між векторами:

cos(A) = (АВ * АС) / (|АВ| * |АС|) = 9 / (√38 * 3)

Таким чином, отримали косинус кута між векторами АВ і АС. Щоб знайти сам кут, можна застосувати обернену тригонометричну функцію cos^-1 (арккосинус) до цього значення.