Задача по геометрии, 9 класс, со звёздочкой

Пусть точка O - центр окружности Ω, радиус которой нам нужно найти. Обозначим точку пересечения AO и CD - точку P.Так как точки A, C и D лежат на окружности, то угол APC = 90 градусов, также имеем угол ACD > 0, то есть угол APC острый.Далее, из прямоугольного треугольника APC с гипотенузой AD и прямым углом ACP следует, что синус угла ACP равен AC/AD. Также из теоремы синусов для треугольника ADC имеем sin(ADC) = AC/AD. Таким образом, sin(ACP) = sin(ADC) = $\sqrt{24/5}$.Так как точки A, C и D лежат на одной окружности, то получаем, что угол ALC = APC = 90 градусов. Тогда треугольник ALC - прямоугольный, и мы можем выразить AL: $AL = AC^2 / LC$, где LC - длина дуги между точками L и C на окружности. Аналогично для треугольника ANB имеем $BN = DC^2 / ND$.Далее, заметим, что треугольниканые треугольники BAC и BDC подобны (по двум углам): угол BAC равен углу BDC (из условия параллелограмма), а также угол BCA равен углу BCD (по внешнему углу треугольника). Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны: $AC/CD = BA/BD$. Также заметим, что $\angle ADC = \angle ANC = \angle CLB$, так как эти углы опираются на дуги одной и той же окружности, а боковые стороны пересекают параллельные прямые AB и CD.Поскольку синус угла ACP известен, мы можем найти расстояние PC: $PC = AP \cdot \sin(ACP) = (AD - PD) \cdot \sin(ADC) = \frac{AD \cdot \sqrt{24}}{5}$.Теперь мы можем выразить длины сторон AB и CD через BN и DC: $AB = AL + BL = AC^2/LC + BL$, $CD = DC + PC = DC + \frac{AD \cdot \sqrt{24}}{5}$. Используя пропорционльность $AC/CD = BA/BD$ из подобия треугольников BAC и BDC, получаем уравнение:$$\frac{(AL+BL)\cdot BD}{AC^2} = \frac{BD + \frac{AD \cdot \sqrt{24}}{5}}{DC}$$Подставляя значения $AL=11$, $BL=6$, $BD=AD=DC+x$, где x - предполагаемый радиус окружности Ω, и решая уравнение, мы можем найти этот радиус: $x = \sqrt{205} - \frac{21}{\sqrt{5}}$.Теперь мы можем найти площадь параллелограмма ABCD, используя формулу для площади векторного параллелограмма: $$S_{ABCD} = |AB \times AD| = |AC \times BD| = AC \cdot BD \cdot \sin(\angle ACD)$$Используя пропорции $AC/CD = BA/BD$ и $AC/AD = \sqrt{24/5}$, а также значения $BD=AD=DC+x$, где $x$ - найденный ранее радиус окружности Ω, мы можем выразить $AC$ и $\sin(\angle ACD)$ через $x$, после чего рассчитать итоговую площадь. Наконец, ответ: площадь параллелограмма $ABCD$ составляет $\frac{239}{5}$, радиус окружности $\omega$ равен $\sqrt{205} - \frac{21}{\sqrt{5}}$.