f(x)=x^3−3x+1 Найдите все точки экстремума этой функции и определите, являются ли они точками максимума или минимума.

Ответ:

Для нахождения точек экстремума функции f(x) = x^3 - 3x + 1 необходимо найти её производную и найти значения x, при которых производная равна нулю.

Сначала найдем производную функции f(x):

f'(x) = 3x^2 - 3.

Теперь найдем точки, где производная равна нулю:

3x^2 - 3 = 0.

Решим уравнение:

3x^2 = 3,

x^2 = 1,

x = ±1.

Таким образом, у функции есть две точки экстремума: x = 1 и x = -1.

Чтобы определить, являются ли эти точки максимумом или минимумом, нужно проанализировать знак производной в окрестности этих точек.

- Когда x < -1, производная f'(x) = 3x^2 - 3 > 0, следовательно, функция возрастает и имеет минимум в точке x = -1.

- Когда -1 < x < 1, производная f'(x) = 3x^2 - 3 < 0, следовательно, функция убывает и имеет максимум в точке x = 1.

- Когда x > 1, производная f'(x) = 3x^2 - 3 > 0, следовательно, функция снова возрастает.

Таким образом, точка x = -1 является точкой минимума, а точка x = 1 является точкой максимума для функции f(x) = x^3 - 3x + 1.