ABCDA1B1C1D1 — правильная призма с основанием ABCD, AA1 = 3AD,объём призмы равен 24см3. Найдите высоту призмы

Обозначим высоту призмы через "h". Так как призма ABCDA1B1C1D1 является правильной, то высота AA1 равна высоте любой другой боковой грани, то есть DA1C1 = B1CAB.

Запишем формулу для вычисления объема призмы: V = S * h, где S - площадь основания призмы.

Так как ABCD - прямоугольник, то его площадь равна S = AB * AD.

Из условия известно, что AA1 = 3AD. Тогда можно выразить AD через AA1: AD = (1/3) * AA1.

Также из условия известно, что V = 24 см³.

Подставляя известные значения в формулу для объема призмы, получим:

24 = S * h

Подставляя площадь основания призмы в выражение для объема призмы и переписывая его через стороны AA1 и AD, получим:

24 = (AB * AD) * h = (AB * (1/3) * AA1) * h = (AB * AA1/3) * h

Таким образом, AB * AA1 * h/3 = 24

AB * AA1 * h = 72

По условию известно, что AA1 = 3AD, тогда выражаем через AD:

AA1 = 3 * AD = 3 * (1/3) * AA1 = AA1

AB * AA1 * h = 72

AB * AA1 * h = AB * 3AD * h = AB * AD * 3h

Из теоремы Пифагора находим AD:

AD = sqrt(AB² - (AD/3)²)

AD = sqrt(AB² - (AA1²/9))

Домножим обе части на 3:

3AD = sqrt(9AB² - AA1²)

Известно, что 3AD = AA1, следовательно:

AA1² = 9AB² - AA1²

2AA1² = 9AB²

AA1² = 4,5AB²

Возводим выражение для высоты призмы в квадрат:

AB * AA1 * h = 72

AB * sqrt(4,5AB²) * h = 72

1,5AB³ * h = 72

AB³ * h = 48

AB = sqrt(48/h)

S = AB * AD = AB * sqrt(AB² - (AD/3)²) = sqrt(48/h) * sqrt(48/h - 16/h) = sqrt(32/h) * sqrt(3) * sqrt(3 - 1) = 3 * sqrt(32/h)

S * h = 24

3 * sqrt(32/h) * h = 24

sqrt(32/h) * h = 8

sqrt(32h) = 8

32h = 8²

h = (8²)/32 = 2

Ответ: высота призмы равна 2 см.