Заданы точки А, В, С, D. Найти проекцию точки D на проходящую плоскость через точки А, В, С A(1, 3, 6), B(2, 2, 1), C(-1, 0, 1), D(-4, 6, -3).

Ответ:

Для знаходження проекції точки D на плоскість, що проходить через точки A, B і C, нам потрібно зробити декілька кроків:

1. **Знайдіть нормальний вектор до плоскості**. Для цього можна взяти векторний добуток двох векторів на плоскості:

\[ \vec{AB} = B - A = (2-1, 2-3, 1-6) = (1, -1, -5) \]

\[ \vec{AC} = C - A = (-1-1, 0-3, 1-6) = (-2, -3, -5) \]

Тепер векторний добуток:

\[ \vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC} \]

\[ N_x = (-1) * (-5) - (-5) * (-3) = -5 - 15 = -20 \]

\[ N_y = (1) * (-5) - (-2) * (-5) = -5 + 10 = 5 \]

\[ N_z = (1) * (-3) - (-2) * (-1) = -3 + 2 = -1 \]

Отже, нормальний вектор до плоскості: \( \vec{N} = (-20, 5, -1) \).

2. **Знайдіть рівняння плоскості**:

\[ ax + by + cz + d = 0 \]

Де (a, b, c) — це координати вектора N, і ми знаємо, що точка A(1, 3, 6) лежить на плоскості:

\[ -20(1) + 5(3) - 1(6) + d = 0 \]

\[ -20 + 15 - 6 + d = 0 \]

\[ d = 11 \]

Отже, рівняння плоскості:

\[ -20x + 5y - z + 11 = 0 \]

3. **Знайдіть проекцію точки D на плоскість**:

\[ \vec{AD} = D - A = (-4-1, 6-3, -3-6) = (-5, 3, -9) \]

Дотичний вектор до плоскості від D можна знайти за допомогою добутку скалярних величин:

\[ t = \frac{\vec{N} \cdot \vec{AD}}{\vec{N} \cdot \vec{N}} \]

\[ t = \frac{(-20) * (-5) + 5 * 3 - 1 * (-9)}{(-20) * (-20) + 5 * 5 + (-1) * (-1)} \]

\[ t = \frac{100 + 15 + 9}{400 + 25 + 1} \]

\[ t = \frac{124}{426} \]

\[ t = 0.2911 \]

Тепер ми можемо знайти координати проекції D':

\[ D' = D - t \cdot \vec{N} \]

\[ D' = (-4, 6, -3) - 0.2911 * (-20, 5, -1) \]

\[ D' = (-4 + 5.822, 6 - 1.4555, -3 + 0.2911) \]

\[ D' = (1.822, 4.5445, -2.7089) \]

Отже, координати проекції точки D на плоскість, що проходить через точки A, B і C, є (1.822, 4.5445, -2.7089).