Кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює 30°. Знайдіть периметр паралелограма, якщо його висоти дорівнюють 4 см і 6 см.

Ответ:

Для знаходження периметра паралелограма нам спочатку потрібно знайти довжину його сторін.

1. Нехай одна із висот паралелограма \( h_1 = 4 \) см впадає на сторону \( a \), а інша висота \( h_2 = 6 \) см впадає на сторону \( b \).

2. Розглянемо трикутник, утворений висотами та стороною паралелограма. Цей трикутник є прямокутним (оскільки висоти перпендикулярні до сторін паралелограма). Отже, кут між висотами є прямим кутом, мінус кут, заданий умовою (30°). Отримуємо кут 60° між стороною паралелограма та однією з висот.

3. Тепер можемо знайти довжину сторони \( a \) паралелограма за допомогою тригонометричних функцій:

\[ a = h_1 / \cos(60^\circ) \]

\[ a = 4 / 0.5 = 8 \] см.

4. Аналогічно, для сторони \( b \):

\[ b = h_2 / \cos(30^\circ) \]

\[ b = 6 / \sqrt{3}/2 = 12/\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \] см.

5. Периметр паралелограма дорівнює:

\[ P = 2a + 2b = 2(8) + 2(4\sqrt{3}) = 16 + 8\sqrt{3} \] см.

Відповідь: периметр паралелограма дорівнює \( 16 + 8\sqrt{3} \) см.