Сириус олимпиада по математике 8класс

BC / sin(A) = AM / sin(C)

Поскольку AM – биссектриса и делит угол A на два равных угла, то можно представить AM в виде двух отрезков, назовем их AM1 и AM2, где AM1 – биссектриса угла A и AM1 = AM2.
Тогда AM1 + AM2 = AM

Длина AM1 можно найти с использованием теоремы синусов для прямоугольного треугольника ABM1:
AB / sin(30) = AM1 / sin(90)
AM1 = AB * sin(90) / sin(30) = AB * 1 / 0.5 = AB * 2

Аналогично, длину AM2 находим с использованием теоремы синусов для прямоугольного треугольника CBM2:
BC / sin(20) = AM2 / sin(90)
AM2 = BC * sin(90) / sin(20) = BC * 1 / sin(20)

Тогда AM = AM1 + AM2 = AB * 2 + BC * 1 / sin(20)

Теперь рассмотрим треугольники ABC и ABM:
BC - AB = AM * sin(20)
BC - AB = (AB * 2 + BC * 1 / sin(20)) * sin(20)
BC - AB = 2AB * sin(20) + BC
BC - AB - BC = 2AB * sin(20)
-AB = 2AB * sin(20)
1 = 2 * sin(20)
sin(20) = 1 / 2

Таким образом, sin(20) = 1 / 2, что означает, что угол B равен 70 градусам.
Теперь можем найти BC - AB + AM:
BC - AB + AM = BC - AB + (AB * 2 + BC * 1 / sin(20))
= BC - AB + AB * 2 + BC * 1 / sin(20)
= BC + BC * 2 + BC * 1 / (1 / 2)
= BC + 2BC + 2BC
= 5BC

Длина боковой стороны BC равна 5.

Ответ: BC - AB + AM = 5BC = 5 * 5 = 25.