Геометрия. Векторы. Базис Векторов

Для проверки того, что векторы e1=(1;-1) и e2=(2;3) образуют базис, мы должны убедиться в следующих двух условиях:

1. Векторы линейно независимы: это означает, что нельзя выразить один вектор через линейную комбинацию другого. Давайте предположим, что можно выразить e1 через линейную комбинацию e2. Предположим, что существуют коэффициенты a и b такие, что ae1 + be2 = 0. Тогда:

a*(1;-1) + b*(2;3) = (0;0)

(а; -а) + (2b; 3b) = (0; 0)

(a+2b; -a+3b) = (0; 0)

Из этого следует, что a+2b=0 и -a+3b=0. Если мы решим эту систему уравнений, мы получим a=b=0, что означает, что векторы e1 и e2 линейно независимы.

2. Векторы охватывают всё пространство: это означает, что любой вектор может быть представлен как линейная комбинация этих векторов. Давайте предположим, что у нас есть вектор a=(-5;-15) и мы хотим представить его в виде линейной комбинации e1 и e2:

a = x1*e1 + x2*e2

где x1 и x2 - коэффициенты, которые мы должны найти. Подставим векторы e1 и e2:

(-5;-15) = x1*(1;-1) + x2*(2;3)

(-5;-15) = (x1 + 2x2; -x1 + 3x2)

Сравнивая соответствующие компоненты, мы можем записать систему уравнений:

x1 + 2x2 = -5
-x1 + 3x2 = -15

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения x1 и x2.