В основании пирамиды с вершиной Е(-1;2;-1) лежит ромб. Точки М(0;0;4), Н(0;4;4), К(4;4;0), Р(4;0;0) являются основаниями высот боковых граней. А) Докажите, что все боковые грани пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания. Б) Найдите координаты основания высоты пирамиды.

В основании пирамиды с вершиной Е(-1;2;-1) лежит ромб.

Точки М(0;0;4), Н(0;4;4), К(4;4;0), Р(4;0;0) являются основаниями высот боковых граней.

А) Докажите, что все боковые грани пирамиды составляют равные углы с плоскостью основания.

Б) Найдите координаты основания высоты пирамиды.

А) Для составления уравнения плоскости МНК используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA   = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 0 y - 0 z - 4

0 - 0 4 - 0 4 - 4

4 - 0 4 - 0 0 – 4    = 0

x - 0 y - 0 z - 4

0 4 0

4 4 -4    = 0

(x – 0)(4·(-4)-0·4)  -  (y – 0)(0·(-4)-0·4)  + (z – 4)(0·4-4·4)   = 0

(-16)(x – 0)   + 0(y – 0)   + (-16)(z – 4)  = 0

- 16x - 16z + 64 = 0

x + z - 4 = 0.

Проверяем, лежит ли точка Р(4;0;0) в этой плоскости.

4 + 0 – 4 = 0, да: 0 = 0. Лежит.

Находим длины высот боковых граней по координатам вершины Е(-1;2;-1) и  основаниям высот М(0;0;4), Н(0;4;4), К(4;4;0), Р(4;0;0).

Векторы x y z Квадраты   L =

EM = 1 -2 5 1 4 25 30 5,47723

EH = 1 2 5 1 4 25 30 5,47723

EK = 5 2 1 25 4 1 30 5,47723

EP = 5 -2 1 25 4 1 30 5,47723

Как видим, длины всех высот боковых граней равны.

Значит, доказано, что все боковые грани имеют равные углы наклона к основанию.

Б) Нормальный вектор плоскости основания является направляющим вектором перпендикуляра из вершины к основанию.

Находим его из уравнения x + z - 4 = 0.

Он равен n(1; 0; 1).

По координатам вершины Е(-1;2;-1) и вектору n(1; 0; 1) составляем уравнение перпендикуляра ЕЕ1: (x + 1)/1 = (y – 2)/0 = (z + 1)/1.

Представляем его в параметрическом виде.

x = t – 1,

y = 2,

z = t – 1.

Подставим в уравнение плоскости основания: t – 1 + t – 1 – 4 = 0.

2t – 6 = 0, отсюда t = 6/2 = 3.

Подставляем в параметрическое уравнение перпендикуляра.

x = 3 – 1 = 2,

y = 2,

z = 3 – 1 = 2.

Точка основания высоты Е1(2; 2; 2).