Олимпиадные задания по математике

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского.

Имеем:
(a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b))(ab+bc+ca) ≥ (a+b+c)²

Раскроем скобки:
(a(b+c)/(b+c) + b(c+a)/(c+a) + c(a+b)/(a+b))(ab+bc+ca) ≥ (a+b+c)²

Упростим:
(ab+ac + bc+ab + ca+cb)(ab+bc+ca) ≥ (a+b+c)²

Теперь заметим, что сумма длин двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны, а значит, сумма всех длин не меньше удвоенной максимальной длины стороны:

a+b+c ≥ 2max(a,b,c)

Возведем это неравенство в квадрат:
(a+b+c)² ≥ 4max(a,b,c)²

Подставим это в исходное неравенство:
(ab+ac + bc+ab + ca+cb)(ab+bc+ca) ≥ 4max(a,b,c)²

Так как ab+ac+bc = 2S (где S - площадь треугольника) и (ab+ac + bc+ab + ca+cb) = 2(a²+b²+c²), получаем:
2(a²+b²+c²)(2S) ≥ 4max(a,b,c)²