Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Его диагональ AC длины 9 является биссектрисой тупого угла BAD и делит этот четырехугольник на два треугольника с площадями 6\sqrt{2} и 12\sqrt{2}. Найти длину диагонали BD. В ответ записать квадрат диагонали BD, умноженный на 9.

Відповідь:Пусть \(BD = x\), а \(CD = y\). Также обозначим точку пересечения диагоналей AC и BD за E.

Из условия мы знаем, что диагональ AC является биссектрисой угла BAD, следовательно, отношение длин отрезков BC к CD равно отношению длин отрезков BA к AD:

\[\frac{BC}{CD} = \frac{BA}{AD}.\]

Также из условия мы знаем, что площади треугольников ABC и ADC равны между собой, поэтому:

\[\frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin(\angle BCD) = \frac{1}{2} \cdot BA \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD).\]

Учитывая, что \(\angle BCD = \angle BAD\), мы можем сократить синусы:

\[BC \cdot CD = BA \cdot AD.\]

Теперь мы знаем, что \(BC = x + y\), \(CD = y\), \(BA = x\), \(AD = x + 9\), поэтому мы можем записать уравнение:

\[(x + y) \cdot y = x \cdot (x + 9).\]

Раскроем скобки и упростим:

\[xy + y^2 = x^2 + 9x.\]

Теперь выразим \(y\) через \(x\) в виде уравнения:

\[y^2 - 9x + yx - x^2 = 0.\]

\[y^2 + y(x - 9) - x^2 = 0.\]

Решим это квадратное уравнение относительно \(y\). Мы знаем, что \(y > 0\), так как \(y\) - это длина отрезка внутри треугольника. Также, учитывая, что AC - биссектриса, длина \(y\) должна быть меньше длины \(x\). Таким образом, выбираем положительный корень:

\[y = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]

где \(a = 1\), \(b = (x - 9)\), \(c = -x^2\).

\[y = \frac{9 - x + \sqrt{(x - 9)^2 + 4x^2}}{2}.\]

Теперь у нас есть выражение для \(y\). Мы можем использовать его, чтобы найти \(x\). Подставим это выражение в уравнение \(BC \cdot CD = BA \cdot AD\):

\[(x + y) \cdot y = x \cdot (x + 9).\]

\[(x + \frac{9 - x + \sqrt{(x - 9)^2 + 4x^2}}{2}) \cdot \frac{9 - x + \sqrt{(x - 9)^2 + 4x^2}}{2} = x \cdot (x + 9).\]

Решив это уравнение численно, мы найдем значение \(x\). Как только у нас есть значение \(x\), мы можем найти \(y\) и, следовательно, длину диагонали \(BD\). Также, умножив квадрат диагонали \(BD\) на 9, мы получим итоговый ответ.

Пояснення: