При якому значенні х вектори (2; x+4) і n(x; 2) будуть колінеарними?

Ответ:

Вектори будуть колінеарними, якщо один з них є кратним іншого.

Вектор (2; x + 4) може бути представлений як n*(x; 2), де n - деяке число.

Розглянемо компоненти векторів:

1. \(2 = n \cdot x\)

2. \(x + 4 = n \cdot 2\)

Розв'язавши систему рівнянь, отримаємо:

1. \(n = \frac{2}{x}\)

2. \(x + 4 = 2n\)

Підставимо значення \(n\) з першого рівняння в друге:

\[x + 4 = 2 \cdot \frac{2}{x}\]

Знайдемо загальний знаменник:

\[x \cdot (x + 4) = 4 \cdot 2\]

Розкриємо дужки та спростимо:

\[x^2 + 4x = 8\]

Прирівняємо до нуля:

\[x^2 + 4x - 8 = 0\]

Розв'яжемо квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня або факторизації:

\[x^2 + 4x - 8 = (x + 2 - 2\sqrt{3})(x + 2 + 2\sqrt{3}) = 0\]

Отже, є два можливих значення для \(x\):

1. \(x + 2 - 2\sqrt{3} = 0 \Rightarrow x = 2\sqrt{3} - 2\)

2. \(x + 2 + 2\sqrt{3} = 0 \Rightarrow x = -2 - 2\sqrt{3}\)

Отже, при \(x = 2\sqrt{3} - 2\) або \(x = -2 - 2\sqrt{3}\) вектори будуть колінеарними.