Дано точки: А(3:2), В(5:4), C(7;2), Д(5:0). Доведіть, що АВСД - квадрат.​

Відповідь: Координата х точки В дорівнює 5, а координата х точки С дорівнює 7.

Координата у точки В дорівнює 4, а координата у точки С дорівнює 2.

Тому довжина відрізка АВ дорівнює |5 - 3| = 2, а довжина відрізка ВС дорівнює |7 - 5| = 2.

Оскільки ці довжини рівні, то відрізки АВ і ВС рівні.

Аналогічно можна довести, що відрізки ВС і CD рівні, а відрізки CD і АВ рівні.

Отже, всі сторони квадрата рівні.

Доведемо, що всі кути квадрата прямі.

Розглянемо кут АВС.

Координата х точки А дорівнює 3, а координата х точки С дорівнює 7.

Координата у точки А дорівнює 2, а координата у точки С дорівнює 2.

Тому синус кута АВС дорівнює

sin(АВС) = |(7 - 3)/(7 - 3)| = 1

Оскільки синус кута АВС дорівнює 1, то кут АВС є прямим.

Аналогічно можна довести, що всі кути квадрата прямі.

Отже, АВСД - квадрат.

Ось ще один спосіб доведення, що АВСД - квадрат:

Розглянемо діагоналі квадрата.

Діагоналі квадрата перетинаються в точці, яка є центром квадрата.

Координати точки перетину діагоналей квадрата можна знайти за формулою

X = (x1 + x2)/2

Y = (y1 + y2)/2

У нашому випадку координати точки перетину діагоналей квадрата дорівнюють

X = (3 + 7)/2 = 5

Y = (2 + 2)/2 = 2

Ці координати збігаються з координатами точки В.

Тобто, точка В є центром квадрата.

Оскільки центр квадрата є серединою кожної діагоналі квадрата, то довжина кожної діагоналі квадрата дорівнює 2 * відстані від центру квадрата до будь-якої вершини квадрата.

У нашому випадку відстань від точки В до точки А дорівнює

√((5 - 3)^2 + (2 - 2)^2) = √(4) = 2

Отже, довжина діагоналі квадрата дорівнює 2 * 2 = 4.

Відповідно до теореми Піфагора, довжина сторони квадрата дорівнює квадратному кореню з 2, помноженому на довжину діагоналі квадрата.

У нашому випадку довжина сторони квадрата дорівнює

√2 * 4 = 2√2

Оскільки всі сторони квадрата рівні, то довжина кожної сторони квадрата дорівнює 2√2.

Відповідно до теореми Піфагора, сума квадратів діагоналей квадрата дорівнює чотирьом квадратам будь-якої сторони квадрата.

У нашому випадку сума квадратів діагоналей квадрата дорівнює

4 * 2^2 = 32

А чотири квадрати будь-якої сторони квадрата дорівнюють

4 * (2√2)^2 = 32

Оскільки ці величини рівні, то всі кути квадрата прямі.

Отже, АВСД - квадрат.

Пояснення: