В прямоугольном треугольнике ABC (C = 90°) средняя длина от вершины C до гипотенузы AB равна 8 дм. угол A равн 30 градусам. Длина катета BC, расположенного напротив него, составит

Ответ:

Решение:

Пусть средняя длина от вершины C до гипотенузы AB равна $x$. Тогда, согласно теореме Пифагора,

```

AC^2 = x^2 + BC^2

```

```

BC^2 = AC^2 - x^2

```

Также, известно, что $AC = AB\sin A = AB\sin 30^\circ = \frac{AB}{2}$. Подставляя эти значения в предыдущее уравнение, получим:

```

BC^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 - x^2

```

```

BC^2 = \frac{AB^2}{4} - x^2

```

Также известно, что $AB = BC\sqrt{3}$, поэтому

```

BC^2 = \frac{BC^2\cdot 3}{4} - x^2

```

```

3BC^2 = BC^2 - 4x^2

```

```

4x^2 = 2BC^2

```

```

x^2 = \frac{1}{2}BC^2

```

```

x = \sqrt{\frac{1}{2}BC^2}

```

```

x = \frac{BC}{\sqrt{2}}

```

Так как $x = 8$, то

```

BC = 8\sqrt{2}

```

Ответ: **длина катета BC, расположенного напротив угла A, равна $8\sqrt{2}$ дм**.

Альтернативное решение:

Пусть $M$ - середина гипотенузы $AB$. Тогда, согласно теореме Пифагора,

```

AM^2 = CM^2 + BM^2

```

```

8^2 = CM^2 + BM^2

```

Также, известно, что $AM = \frac{AB}{2}$. Подставляя эти значения в предыдущее уравнение, получим:

```

64 = CM^2 + BM^2

```

Так как $CM + BM = BC$, то $CM^2 + BM^2 = BC^2$. Подставляя это значение в предыдущее уравнение, получим:

```

BC^2 = 64

```

```

BC = 8\sqrt{2}

```

Ответ: **длина катета BC, расположенного напротив угла A, равна $8\sqrt{2}$ дм**.