Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Домашнее задание

Задача 4.
Даны координаты вершин треугольника на плоскости А(2;1), B(3;5), C(-3;8).
Найти расстояние от точки А до медианы ВМ.
Решение:
Медиана ВМ треугольника ABC проходит через его центр тяжести G, который находится на пересечении его медиан. Координаты точки G можно найти по формуле:
G = (A + B + C)/3
Подставляя координаты вершин треугольника, получаем:
G = (2 + 3 - 3)/3 = 2
Тогда координаты точки М, являющейся серединой отрезка BC, можно найти по формуле:
M = (B + C)/2
Подставляя координаты вершин треугольника, получаем:
M = (3 + (-3))/2 = 0
Теперь можно найти расстояние от точки А до точки М:
AM = √((2 - 0)^2 + ((1 - 0)^2) = √5
Ответ: Расстояние от точки А до медианы ВМ треугольника ABC равно √5.
Задача 5.
Найти координаты точки Р, являющейся проекцией точки 4(5;-1) на
прямую 3х-4y+6=0.
Решение:
Проекция точки P на прямую 3х-4y+6=0 есть точка пересечения прямой с перпендикуляром, проведенным из точки P к прямой.
Коэффициенты уравнения прямой 3х-4y+6=0 дают нам направляющий вектор перпендикуляра:
n = (3;-4)
Координаты точки P (5;-1) дают нам вектор, проведенный из начала координат к точке P:
v = (5;-1)
Проекция вектора v на вектор n равна:
proj_n(v) = (v * n) / n^2 * n
Подставляя значения вектора v и направляющего вектора n, получаем:
proj_n(v) = ((5;-1) * (3;-4)) / (3^2 + (-4)^2) * (3;-4)
proj_n(v) = (15 - 4) / 25 * (3;-4)
proj_n(v) = (11/25)(3;-4) = (33/25;-44/25)
Этот вектор является проекцией точки P на прямую 3х-4y+6=0. Чтобы найти координаты точки P, нужно прибавить к этому вектору вектор, проведенный из начала координат к точке P:
P = proj_n(v) + v
P = (33/25;-44/25) + (5;-1)
P = (88/25;-49/25)
Ответ: Координаты точки Р, являющейся проекцией точки 4(5;-1) на прямую 3х-4y+6=0, равны (88/25;-49/25).