9 класс геометрия.

Чтобы доказать, что данный четырёхугольник является прямоугольником, необходимо проверить, являются ли его противоположные стороны параллельными и имеют ли равные длины.

Для начала, посчитаем длины сторон:
KL = √((−2−0)² + (4−1)²) = √(4 + 9) = √13
LM = √((4−(−2))² + (8−4)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13
MN = √((6−4)² + (5−8)²) = √(4 + 9) = √13
NK = √((0−6)² + (1−5)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13

Теперь проверим, являются ли противоположные стороны параллельными. Для этого сравним коэффициенты наклона сторон KL и MN, а также LM и NK:
KL: (4−1) / (−2−0) = 3 / −2.5 = −1.2
MN: (5−8) / (6−4) = −3 / 2 = −1.5
LM: (8−4) / (4−(−2)) = 4 / 6 = 0.67
NK: (1−5) / (0−6) = −4 / −6 = 0.67

Коэффициенты наклона противоположных сторон равны в каждой паре, следовательно, стороны KL и MN параллельны, а также стороны LM и NK параллельны.

Длины противоположных сторон KL/LM и NK/MN равны, следовательно, все стороны одинаковой длины.

Таким образом, по определению прямоугольника, данный четырёхугольник является прямоугольником.

Чтобы найти косинус угла между диагоналями, воспользуемся формулой косинуса:

cos(θ) = (AB² + CD² - AC² - BD²) / (2 * AB * CD)

где AB и CD - длины диагоналей, AC и BD - длины сторон четырёхугольника.

AB = √((−2−6)² + (4−5)²) = √(64+1) = √65
CD = √((0−4)² + (1−8)²) = √(16+49) = √65
AC = √13
BD = 2√13

Подставим значения в формулу:

cos(θ) = (√65)² + (2√13)² - (√13)² - (2√13)²) / (2 * √65 * 2√13)
= (65 + 4*13 - 13 - 4*13) / (2 * √65 * 2√13)
= (65 + 52 - 13 - 52) / (2 * √65 * 2√13)
= 0 / (2 * √65 * 2√13)
= 0

Косинус угла между диагоналями равен 0, что означает, что угол между ними равен 90 градусам. Следовательно, диагонали перпендикулярны друг другу.

Наконец, чтобы найти площадь прямоугольника, мы можем использовать формулу:

Площадь = |(x1 * y2 + x2 * y3 + x3 * y4 + x4 * y1) - (y1 * x2 + y2 * x3 + y3 * x4 + y4 * x1)| / 2

где (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4) - координаты вершин прямоугольника.

Подставим значения координат и вычислим площадь:

Площадь = |(0 * 4 + -2 * 8 + 4 * 5 + 6 * 1) - (1 * -2 + 4 * 4 + 8 * 6 + 5 * 0)| / 2
= |(0 + -16 + 20 + 6) - (-2 + 16 + 48 + 0)| / 2
= |10 - 62| / 2
= |-52| / 2
= 52 / 2
= 26

Таким образом, площадь прямоугольника равна 26 единицам площади.

Для доказательства того, что данный четырёхугольник является прямоугольником, нам нужно проверить, что диагонали данного четырёхугольника перпендикулярны друг другу.

Диагонали прямоугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда их векторные произведения равны нулю. Векторы диагоналей можно найти, вычислив разность координат противоположных вершин прямоугольника. Для данного прямоугольника, векторы диагоналей будут:

Диагональ AC: КМ (4; 8) - КЛ (-2; 4) = (4 + 2; 8 - 4) = (6; 4)
Диагональ BD: МN (6; 5) - KL (-2; 4) = (6 + 2; 5 - 4) = (8; 1)
Теперь вычислим их векторное произведение:

AC × BD = (6; 4) × (8; 1) = 61 - 48 = 6 - 32 = -26

Так как векторное произведение диагоналей не равно нулю, то диагонали не перпендикулярны. Следовательно, данный четырёхугольник не является прямоугольником.

Для нахождения косинуса угла между диагоналями прямоугольника, можно воспользоваться формулой косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (AC BD) / (|AC| |BD|)

где AC BD - скалярное произведение векторов, |AC| и |BD| - их длины. Подставляем значения:

cos(θ) = (-26) / (√(6^2 + 4^2) √(8^2 + 1^2)) = -26 / (√52 √65) ≈ -0.686

Наконец, для нахождения площади прямоугольника можно воспользоваться формулой:

S = |AC| |BD| / 2

S = √(6^2 + 4^2) √(8^2 + 1^2) / 2 = √52 √65 / 2 ≈ 21.54

Таким образом, данный четырёхугольник не является прямоугольником, угол между его диагоналями примерно равен -0.686 радиан, и его площадь составляет примерно 21.54 квадратных единиц.