Геометрия 9 класс...

Для начала, давайте проверим, что данный четырёхугольник является прямоугольником. Чтобы доказать, что четырёхугольник является прямоугольником, нам нужно убедиться, что его диагонали перпендикулярны друг другу.

Диагонали прямоугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

Давайте найдем векторы, образованные диагоналями четырёхугольника KLMN:

Диагональ KM:
Вектор KM = M - K = (4 - 0, 8 - 1) = (4, 7)

Диагональ LN:
Вектор LN = N - L = (6 - (-2), 5 - 4) = (8, 1)

Теперь найдем векторное произведение этих векторов:

KM x LN = (4, 7) x (8, 1)
= (7*1 - 4*8)i - (4*1 - 7*8)j
= (7 - 32)i - (4 - 56)j
= -25i + 52j

Так как векторное произведение KM x LN не равно нулю, диагонали KM и LN не перпендикулярны, а значит четырёхугольник KLMN не является прямоугольником.

Теперь найдем косинус угла между его диагоналями. Косинус угла между векторами можно найти по формуле:

cos(θ) = (KM * LN) / (|KM| * |LN|)

где KM * LN - скалярное произведение векторов, |KM| и |LN| - их длины.

Сначала найдем скалярное произведение KM * LN:
KM * LN = (4*8) + (7*1) = 32 + 7 = 39

Теперь найдем длины векторов KM и LN:
|KM| = √(4^2 + 7^2) = √(16 + 49) = √65
|LN| = √(8^2 + 1^2) = √(64 + 1) = √65

Теперь мы можем найти косинус угла θ:
cos(θ) = 39 / (√65 * √65) = 39 / 65 = 0.6

Наконец, найдем площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника можно найти как произведение длин его сторон. Для KLMN это будет площадь прямоугольника S = |KM| * |LN| = √65 * √65 = 65.

Итак, мы выяснили, что данный четырёхугольник не является прямоугольником, нашли косинус угла между его диагоналями (cos(θ) ≈ 0.6) и вычислили площадь прямоугольника (S = 65).