Три окружности попарно касаются друг друга. Через три точки касания проводим окружность. Доказать, что эта окружность перпендикулярна к каждой из трёх исходных. (Углом между двумя окружностями в точке их пересечения называется угол, образованный их касательными в этой точке.)

Ответ:

Пусть у нас есть три окружности: Окружность A, Окружность B и Окружность C. Они попарно касаются друг друга и образуют три точки касания: точка касания между A и B, точка касания между B и C, и точка касания между C и A.

Пусть M, N и P - это центры окружностей A, B и C соответственно. Тогда линии MN, NP и PM - это радиусы соответствующих окружностей.

Давайте рассмотрим окружность, проходящую через точки касания окружностей A, B и C. Пусть Q - это ее центр. Мы должны показать, что линия MQ перпендикулярна к каждой из трех окружностей A, B и C.

1. Пусть T1 будет точка касания между A и B. Тогда радиусы MN и NP являются перпендикулярными касательными в точке T1. Из геометрии известно, что диаметр, проведенный перпендикулярно касательной, проходит через точку касания. Следовательно, линия MQ, проходящая через центр окружности, перпендикулярна касательным в точке T1.

2. Аналогично, пусть T2 будет точкой касания между B и C, и T3 - точкой касания между C и A. Тогда радиусы NP и PM, а также радиусы PM и MN являются перпендикулярными касательными в точках T2 и T3 соответственно. Из той же геометрии следует, что линия MQ также перпендикулярна касательным в точках T2 и T3.

Таким образом, мы доказали, что линия MQ, проходящая через центр окружности, перпендикулярна касательным в каждой из трех исходных окружностей A, B и C.