1. В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота ВН. Нам дано, что АС = 6 см и АН = 4 см. Нужно найти отрезок ВН.
По свойству прямоугольного треугольника, произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.
Поэтому АС * АН = ВС * ВН
6 * 4 = ВС * ВН
24 = ВС * ВН
Так как АС - гипотенуза, то ВС = АС = 6 см
Подставляя это значение в уравнение, получаем:
24 = 6 * ВН
ВН = 24 / 6 = 4 см
Ответ: отрезок ВН равен 4 см.
2. Для доказательства подобия треугольников АВС и DEC нужно показать, что их соответственные углы равны.
На рисунке даны следующие длины:
АС = 33 см, ВС = 15 см, CD = 11 см, CE = 5 см
Из треугольника АВС можно найти длины остальных сторон:
AB = sqrt(AC^2 - BC^2) = sqrt(33^2 - 15^2) = sqrt(1089 - 225) = sqrt(864) = 12 * sqrt(6) см
BC = sqrt(AC^2 - AB^2) = sqrt(33^2 - (12 * sqrt(6))^2) = sqrt(1089 - 864) = sqrt(225) = 15 см
Теперь сравним соответственные стороны треугольников АВС и DEC:
AB/DE = (12 * sqrt(6)) / 5 = (12 / 5) * sqrt(6)
BC/EC = 15 / 5 = 3
AC/DC = 33 / 11 = 3
Заметим, что соответствующие отношения сторон равны, следовательно, треугольники АВС и DEC подобны.
3. В трапеции ABCD с основаниями AB и DC диагонали пересекаются в точке О, DO = 18 см, OB = 14 см, а сторона DC на 4 см больше отрезка AB. Нужно найти длины оснований трапеции.
По свойству трапеции, диагонали равны по длине.
Поэтому DO = OB
18 см = 14 см
Также нам дано, что сторона DC на 4 см больше отрезка AB.
DC = AB + 4
Заметим, что отрезок DB делит диагональ DO на две равные части, поэтому DB = 18 / 2 = 9 см.
Теперь посмотрим на треугольник DBA. Из этого треугольника можно записать теорему Пифагора:
(AB)^2 = (DB)^2 + (DA)^2
(AB)^2 = 9^2 + 14^2
(AB)^2 = 81 + 196
(AB)^2 = 277
AB = sqrt(277) см
Также из треугольника BCD можем выразить DB:
(DB)^2 = (DC)^2 - (BC)^2
(DB)^2 = (AB + 4)^2 - (BC)^2
(DB)^2 = (sqrt(277) + 4)^2 - (BC)^2
(DB)^2 = (277 + 8 * sqrt(277) + 16) - (BC)^2
(DB)^2 = 293 + 8 * sqrt(277) - (BC)^2
(DB)^2 = 293 + 8 * sqrt(277) - (DC)^2
По свойству трапеции, BD = DC - BC
9 = DC - BC
BC = DC - 9
Теперь из треугольника BCD можем выразить DB:
(DB)^2 = 293 + 8 * sqrt(277) - (DC)^2
(DB)^2 = 293 + 8 * sqrt(277) - ((DC - 9)^2)
(DB)^2 = 293 + 8 * sqrt(277) - ((DC)^2 - 18 * DC + 81)
(DB)^2 = 293 + 8 * sqrt(277) - (DC)^2 + 18 * DC - 81
(DB)^2 = -8 * sqrt(277) + 18 * DC + 212
(DB)^2 = -8 * sqrt(277) + 18 * (AB + 4) + 212
(DB)^2 = -8 * sqrt(277) + 18 * (sqrt(277) + 4) + 212
(DB)^2 = -8 * sqrt(277) + 18 * sqrt(277) + 72 + 212
(DB)^2 = 10 * sqrt(277) + 284
(DB)^2 = 10 * sqrt(277) + 284
DB = sqrt(10 * sqrt(277) + 284)
Заметим, что BD = DB, значит мы нашли длину отрезка AB и DC:
AB = sqrt(277) см
DC = AB + 4 см = sqrt(277) + 4 см
Ответ: длины оснований трапеции равны sqrt(277) см и sqrt(277) + 4 см.
4. В треугольнике АВС и А1В1С1 известно, что AB/A1B1 = BC/B1C1 = AC/A1C1. Если угол A = 30 градусов, угол B = 80 градусов, нужно найти градусную меру угла C1.
Заметим, что отношения сторон треугольников АВС и А1В1С1 соответствуют отношениям величин противолежащих им углов. Из этого следует, что градусная мера угла С1 будет равна градусной мере угла С.
Градусная мера угла С равна 180 - градусная мера угла A - градусная мера угла B.
Градусная мера угла С = 180 - 30 - 80 = 70 градусов.
Ответ: градусная мера угла C1 равна 70 градусам.