В треугольнике ABC точки A1, B1, C1 - основания высот AA1, BB1 и CC1. Точка M симметрична точке A1 относительно стороны AB, а точка K симметрична этой же точке A1 относительно AC. Доказать, что M, C1, B1 и K лежат на одной прямой.

Обозначим точку пересечения высот треугольника ABC за H.

Так как M - середина отрезка A1B, а K - середина отрезка A1C, то MK || BC и их отношение равно 1:1.

Также, так как A1B1C1 - медицинский треугольник, то их вершины лежат на окружности с диаметром AC. Тогда углы B1C1M и B1C1K являются прямыми углами.

Так как углы B1C1H и B1C1M прямые, то точки M, C1, B1 и H лежат на одной прямой.

А так как H лежит на прямой AC, то и точки M, C1, B1 и K лежат на одной прямой.