362. а) Дан усеченный конус, высота которого равна 12 см, радиус нижнего основания равен 8 см, а тангенс угла между образующей и основани- ем равен 2,4. Найдите площадь верхнего основания этого усеченного конуса. б) Образующая усеченного конуса, равная 16 см, наклонена к основа- нию под углом 60°. Найдите радиусы оснований этого усеченного ко- нуса, если их отношение равно 3.

Ответ:

Объяснение:

а) Площадь верхнього основання усіченого конуса можна знайти за формулою:

�

1

=

�

2

⋅

(

�

1

�

2

)

2

,

S

1

​

=S

2

​

⋅(

r

2

​

r

1

​

​

)

2

,

де

�

1

S

1

​

 - площа верхнього основання,

�

2

S

2

​

 - площа нижнього основання,

�

1

r

1

​

 - радіус верхнього основання,

�

2

r

2

​

 - радіус нижнього основання.

Ми знаємо, що

ℎ

=

12

см

h=12см (висота),

�

2

=

8

см

r

2

​

=8см (радіус нижнього основання). Для знаходження

�

1

r

1

​

 скористаємося тангенсом кута

�

θ між образуючою і основанням:

tan

⁡

(

�

)

=

ℎ

�

2

,

tan(θ)=

r

2

​

h

​

,

звідки отримаємо

�

1

=

ℎ

tan

⁡

(

�

)

r

1

​

=

tan(θ)

h

​

.

Підставимо ці значення в формулу для площі:

�

1

=

�

(

ℎ

tan

⁡

(

�

)

)

2

.

S

1

​

=π(

tan(θ)

h

​

)

2

.

З поданих даних,

tan

⁡

(

�

)

=

2.4

tan(θ)=2.4:

�

1

=

�

(

12

2.4

)

2

≈

�

⋅

25

см

2

.

S

1

​

=π(

2.4

12

​

)

2

≈π⋅25см

2

.

Отже, площа верхнього основання становить приблизно

25

�

см

2

25πсм

2

.б) Розглянемо правильний трикутник, у якому один із кутів дорівнює

6

0

∘

60

∘

, а протилежна сторона дорівнює образуючій конуса.

Використаємо властивість тангенсу:

tan

⁡

(

6

0

∘

)

=

ℎ

�

1

−

�

2

,

tan(60

∘

)=

r

1

​

−r

2

​

h

​

,

де

�

1

r

1

​

 - радіус верхнього основання,

�

2

r

2

​

 - радіус нижнього основання.

З поданих даних,

ℎ

=

16

см

h=16см, а

�

1

/

�

2

=

3

r

1

​

/r

2

​

=3, отже,

�

1

=

3

�

2

r

1

​

=3r

2

​

.

Підставимо ці значення у вираз для тангенсу:

tan

⁡

(

6

0

∘

)

=

16

2

�

2

.

tan(60

∘

)=

2r

2

​

16

​

.

Розв'яжемо це рівняння відносно

�

2

r

2

​

:

�

2

=

16

2

tan

⁡

(

6

0

∘

)

=

16

2

3

=

8

3

.

r

2

​

=

2tan(60

∘

)

16

​

=

2

3

​

16

​

=

3

​

8

​

.

Отже,

�

2

=

8

3

3

r

2

​

=

3

8

3

​

​

, а

�

1

=

3

�

2

=

8

3

r

1

​

=3r

2

​

=8

3

​

.

Отже, радіуси основань усіченого конуса дорівнюють

8

3

8

3

​

 та

8

3

3

3

8

3

​

​

.