4. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 12см і 6√5см. Точка М знаходиться на відстані 15см від кожної з його вершин. Знайдіть відстань від точки М до площини трикутника.​

Щоб знайти відстань від точки M до площини трикутника, спочатку знайдемо рівняння площини трикутника.

Коефіцієнти рівняння площини трикутника ABC ми можемо знайти з векторного добутку векторів, які лежать в площині трикутника.

Відомо, що вектор, перпендикулярний площині, буде проекцією одного з векторів, що лежать в площині. Точніше, можна взяти векторний добуток катетів трикутника, щоб отримати вектор нормалі до площини трикутника.

Отже, вектор нормалі до площини трикутника ABC буде:

n = AB x AC

Знайдемо вектор нормалі до площини трикутника ABC:

AB = (0, 12, 0) - вектор, який йде від початку координат до точки B

AC = (0, 6√5, 15) - вектор, який йде від початку координат до точки C

AB x AC = (126√5 - 0*15, 0*15 - 0*3, 0*6√5 - 120) = (72√5, 0, 0)

Тепер, ми можемо скористатися рівнянням площини:

Ax + By + Cz + D = 0

де (A,B,C) - це координати вектора нормалі до площини. Давайте визначимо D, за допомогою координатів однойменного вектора трикутника (1, 0, 0).

D = -n * r0,

де r0 - це координати будь-якої точки площини (0,0,0)

D = -(72√50 + 0*0 + 00) = 0

Таким чином, рівняння площини трикутника ABC виглядатиме:

72√5x = 0

Тепер ми можемо знайти відстань d від точки М до площини трикутника за формулою:

d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)

Підставляючи відомі значення отримаємо:

d = |72√50 + 0*0 + 0*15 + 0| / √(72√5^2 + 0^2 + 0^2) = |0| / √(725) = 0 / √(360) = 0

Отже, відстань від точки М до площини трикутника ABC дорівнює 0.