У правильній трикутній піраміді висота утворює з площиною бічної грані кут В. Відстань від середини висоти до бічної грані дорівнює b. Визначити обʼєм піраміди.

Відповідь:

Пояснення:

Давайте обозначим у правильной трикутной пирамиды следующие параметры:

- \(h\) - высота пирамиды, которая образует угол \(B\) с боковой гранью;

- \(a\) - длина стороны основания пирамиды (равнобедренного треугольника);

- \(b\) - расстояние от середины высоты до боковой грани.

Объем правильной трикутной пирамиды можно выразить формулой:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h \]

где \( S_{\text{осн}} \) - площадь основания.

Площадь основания правильной трикутной пирамиды равнобедренного треугольника можно найти с использованием формулы \( S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l \), где \( l \) - длина боковой стороны треугольника.

Также у нас есть прямоугольный треугольник, образованный половиной основания \( \frac{a}{2} \), половиной длины боковой стороны \( \frac{l}{2} \) и расстоянием \( b \). Используем теорему Пифагора для нахождения \( l \):

\[ l = \sqrt{b^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]

Теперь можем подставить все значения в формулу для объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{b^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \cdot h \]

Это выражение предоставляет объем правильной трикутной пирамиды в зависимости от заданных параметров \(a\), \(b\), и \(h\).