Через вершини А і В трикутника АВС проведено прямі, які перпендикулярні до бісектриси кута АСВ та перетинають прямі ВС і АС у точках М і К відповід но. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо АС > ВС СМ= 6 см, ВК = 2 см, AB = 7 CM. ​

Ответ:

Давайте спочатку знайдемо довжини відрізків АМ і ВК.

З огляду на те, що АМ і ВК перпендикулярні до бісектриси кута АСВ, то вони є висотами прямокутних трикутників АСМ і ВСК відповідно.

За теоремою Піфагора, можемо знайти довжину СМ:

\[ CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{AC^2 - 6^2} \]

\[ CM = \sqrt{AC^2 - 36} \]

Також, можемо знайти довжину ВК:

\[ VK = \sqrt{BV^2 - BK^2} = \sqrt{BV^2 - 2^2} \]

\[ VK = \sqrt{BV^2 - 4} \]

Ми знаємо, що ВК = 2 см, тому можемо записати:

\[ \sqrt{BV^2 - 4} = 2 \]

\[ BV^2 - 4 = 4 \]

\[ BV^2 = 8 \]

\[ BV = \sqrt{8} \]

\[ BV = 2\sqrt{2} \]

Тепер ми можемо знайти ВС, використовуючи те, що ВС = ВК + КС:

\[ BC = 2\sqrt{2} + 2 \]

\[ BC = 2(\sqrt{2} + 1) \]

Ми також знаємо, що AB = 7 см. Тепер можемо знайти довжину АС:

\[ AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} \]

\[ AC = \sqrt{7^2 - (2\sqrt{2} + 2)^2} \]

\[ AC = \sqrt{49 - (4\cdot2 + 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} + 4)} \]

\[ AC = \sqrt{49 - (8 + 8\sqrt{2} + 4)} \]

\[ AC = \sqrt{49 - 12\sqrt{2} - 12} \]

\[ AC = \sqrt{37 - 12\sqrt{2}} \]

Тепер ми можемо знайти периметр трикутника АВС:

\[ P = AB + AC + BC \]

\[ P = 7 + \sqrt{37 - 12\sqrt{2}} + 2(\sqrt{2} + 1) \]