На сторонах з вершиню в точці B позначили точки A i C та що АВ=ВС. Через точки А і С провели прямі, які пенпендикулярні до сторін ВА і ВС відповідно та перетинаються в точкі О. Доведіть , що промінь ВО- бісектриса кута АВС

Ответ:

Дано:

∟B; AB = ВС; СК ┴ KB; AN ┴ NB; AN ∩ CK = 0.

Довести: BO - бісектриса ∟ABC.

Доведения:

За умовою СК ┴ KB, ∟CKB = 90° i AN ┴ NB, тоді ∟ANB = 90°.

Розглянемо ∆ANB i ∆CKB:

1) ∟ANB = ∟CKB = 90°;

2) AB = ВС (за умовою);

3) ∟В - спільний.

За ознакою piвностi прямокутних трикутників маємо ∆ANB = ∆СКВ.

Звідси ∟BAN = ∟BCK (як piвнi елементи piвниx фігyp);

BN = ВК. Якщо АВ = ВС i BN = ВК, тоді АК = NC.

Розглянемо ∆АОК i ∆СОN:

1) ∟OКA = ∟ONC = 90°;

2) АК = NC;

3) ∟АOК = ∟NOC (вертикальні).

За ознакою piвностi прямокутних трикутників маємо: ∆АОК = ∆CON.

Звідси OK = ON.

Розглянемо ∆ONB i ∆OKB:

1) ∟OKB = ∟ONB = 90°;

2) ОВ - спільна сторона;

3) OK = ON.

За ознакою piвностi прямокутних трикутників маємо: ∆ONB = ∆ОКВ.

Тоді ∟OBN = ∟OBK. Тоді ОВ - бісектриса ∟ABC.

Доведено.