Высота шарового сегмента равна 1/4 диаметра шара. Найти отношение объема шарового сегмента к объему шара

Для нахождения отношения объема шарового сегмента к объему шара, нам нужно знать формулы для объема шарового сегмента и объема шара.

1. Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:
\[ V_{\text{сегмента}} = \frac{1}{6} \pi h(3r^2 + h^2) \]
где \( r \) - радиус шара, \( h \) - высота шарового сегмента.

2. Объем шара вычисляется по формуле:
\[ V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

У нас дано, что высота шарового сегмента равна \( \frac{1}{4} \) диаметра шара, то есть \( h = \frac{d}{4} = \frac{2r}{4} = \frac{r}{2} \).

Подставляем значение \( h \) в формулу для объема шарового сегмента:
\[ V_{\text{сегмента}} = \frac{1}{6} \pi \left( \frac{r}{2} ight) \left( 3r^2 + \left( \frac{r}{2} ight)^2 ight) \]

Упрощаем выражение и находим объем шарового сегмента.

Теперь можем найти отношение объема шарового сегмента к объему шара:
\[ \frac{V_{\text{сегмента}}}{V_{\text{шара}}} = \frac{\frac{1}{6} \pi \left( \frac{r}{2} ight) \left( 3r^2 + \left( \frac{r}{2} ight)^2 ight)}{\frac{4}{3} \pi r^3} \]

Упрощаем это выражение и находим итоговый ответ.