Задача по геометрии

Объем правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h, \]

где \( S_{\text{основания}} \) - площадь основания, а \( h \) - высота пирамиды.

Для нахождения \( S_{\text{основания}} \) нам понадобится площадь равностороннего треугольника, который является основанием пирамиды. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}, \]

где \( a \) - длина стороны треугольника.

Так как треугольник равносторонний, его высота будет проходить через центр основания и делить его на два равных треугольника. Поэтому сторона треугольника равна удвоенной высоте пирамиды \( h \).

Теперь мы можем выразить площадь основания и объем пирамиды через высоту пирамиды \( h \):

\[ S_{\text{основания}} = \frac{(2h)^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{4h^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = h^2 \cdot \sqrt{3}, \]

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot h^2 \cdot \sqrt{3} \cdot h = \frac{h^3 \cdot \sqrt{3}}{3}. \]

Подставим значение \( h = 12 \) см:

\[ V = \frac{12^3 \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{1728 \cdot \sqrt{3}}{3} \approx 997.51 \, \text{см}^3. \]

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды составляет примерно \( 997.51 \, \text{см}^3 \).