Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника равна 10 и делит прямой угол в отношении 1 : 2. Найдите длину меньшего из катетов.

Так как прямой угол опирается на диаметр, гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром окружности, описанной около треугольника. Медиана, проведенная из вершины прямого угла - радиус описанной окружности, а т.М - центр окружности. Значит СМ=АМ=10=RИзвестно, что медиана делит прямой угол  в соотношении 1:2, значит:х+2х=903х=90х=302х=60Меньшему катету соответствует больший угол, значит ΔАМС - равнобедренный (АМ=СМ) и угол АСМ= 60 градусов => угол САМ=60 градусов  =>  угол СМА=60 градусов, значит  ΔАМС - равносторонний.Меньший катет АС=10.