Пусть Н - точка пересечения высот треугольника ABC. Докажите, что А - точка пересечения продолжения треугольника BHC

А что тут доказывать? Если у нас есть прямая AH, которая пересекает треугольник этот в точке H, притом являясь продолжением одной из стороны, следовательно, точка A принадлежит прямой, содержащей сторону.