Вершины четырёхугольника ABCD делят окружность в отношении 1:2:5:4. Найдите углы этого четырёхугольника. 

Смотри рисунок к задаче в прикрепленном файле.

Вершины четырехугольника делят окружность на дуги. Обозначим одну часть через х°.

Тогда градусная мера дуги АВ=х, дуги ВС=2х, дуги CD=5х, дуги DA=4х.

В сумме все эти дуги дают 360°

х+2х+5х+4х=360

12х=360

х=30.

Значит дуга АВ 30°, дуга ВС 2*30°=60°, дуга CD=5*30°=150°, дуга DA 4*30°=120°.

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Угол А опирается на дугу ВD. ВD=ВС+CD=60°+150°=210°.

∠А=210°:2=105°

Угол В опирается на дугу АС. АС=СD+DA=150°+120°=270°

∠В=270°:2=135°.

Угол С опирается на дугу DB. DB=DA+AB=120°+30°=150°

∠С=150°:2=75°.

∠D=360°-(105°+135°+75°)=45°.

Ответ: ∠А=105°, ∠В=135°, ∠С=75°, ∠D=45°.