• 16. Докажите, что в произвольном выпуклом четырёхугольнике
    сумма диагоналей меньше периметраэтог о четырёхугольникаи боль-
    ше его полупериметра.

Ответы 1

  • Пусть дан произвольный выпуклый четырехугольник АВСК. Периметр четырехугольника это сумма всех его сторон.

    Нужно доказать, что (АВ+ВС+СК+АК)/2 < АС+ВК < АВ+ВС+СК+АК

     

    Учитывая неравенство треугольника

    AC<AB+BC, BK<BC+CK

    сложив которые

    получим, что АС+ВК<АВ+ВС+СК+АК

     

    Пусть О - точка пересечения диагоналей(они пересекаются так как четырехугольник выпуклый)

    Снова используя неравенства треугольника

    АB<AO+BO, BC<BO+CO, CK<CO+KO, AK<AO+KO

    сложив которые

    AB+BC+CK+AK<2*(AO+OC+BO+KO)

    или тто же самое что

    AB+BC+CK+AK<2*(AC+BK)

    или

    (АВ+ВС+СК+АК)/2<АС+ВК

    таким образом доказана вторая часть требуемого.

    Доказано

    • Автор:

      salvatore
    • 5 лет назад
    • 0
  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Войти через Google

или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years